Народився Олексій Йосипович Цвібель 9 жовтня 1957 року в родині шахтарів, з раннього дитинства проживав у Фастові. Закінчив школу №2, потім – Київське профтехучилище, далі отримував фах у Бердичівському машинобудівному технікумі.
Після служби в армії працював на заводі «Червоний Жовтень» електрозварювальником, потім проходив надстрокову службу в армії, трудився на підприємстві «Промгазапарат» – був майстром дільниці. З 1995 рок працював на комунальному підприємстві «Фастівська ЖЕК», був спочатку механіком, потім головним інженером.
З 2006 по 2010 рік був заступником міського голови з питань ЖКГ, потім повернувся на роботу до ЖЕКу вже на посаду керівника, де пропрацював до 2013 року.
З 2013 по 2021 рік був куратором напрямку теплозабезпечення закладів бюджетної сфери Фастівського району.
Окрім трудової діяльності, Олексій Йосипович активно займався спортом – був видатним гравцем команд Фастова «Олімп» та «Динамо». Більше того, його називали легендою фастівського футболу, надійним гравцем, хорошим організатором. Брав активну участь у змаганнях, отримав за це численні відзнаки та нагороди. Був визнаний кращим гравцем команди у віці 35+ та 50+, кращим воротарем та кращим воротарем України у віці 65+.
